Lemmik Postitused

Toimetaja Valik - 2020

Forexi fraktaalid - mida peate teadma

On ebatõenäoline, et leiate Forexi turult vähemalt ühe uustulnuka, kes ei teaks, mis on fraktaal. Ja paljud inimesed on sellisest kontseptsioonist väljaspool turgu kuulnud. Fraktaalid on olnud teada peaaegu sajand, neid on hästi uuritud ja elus on neid arvukalt. Selle nähtuse aluseks on väga lihtne idee: suhteliselt lihtsatest struktuuridest saab lõputu hulga ilu ja mitmekesisuse näitajaid, millel on vaid kaks toimingut - kopeerimine ja mõõtmete muutmine.

Mis on fraktaal?

Mõistel "fraktaal" pole täpset määratlust. Seetõttu pole see sõna matemaatiline termin. Seda nimetatakse tavaliselt geomeetriliseks kujundiks, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest:

- sellel on keerukas struktuur igal suurendusel;

- on (umbes) ise sarnane;

- sellel on fraktsionaalne Hausdorffi murdosa, mis on suurem kui topoloogiline;

- saab üles ehitada rekursiivsete protseduuride abil.

Esinemise ajalugu

19. ja 20. sajandi vahetusel oli fraktaalide uurimine pigem episoodiline kui süstemaatiline. Varem uurisid matemaatikud peamiselt objekte, mida võis uurida üldiste meetodite ja teooriate abil.

1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis pole kuskil eristatav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti tajutav. Seetõttu leiutas rootslane Helge von Koch 1904. aastal pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktaali omadused. Selle kõvera ühte variatsiooni nimetatakse Kochi lumehelbeks.

Enesesarnasuse ideed valis prantslane Paulo Pierre Levy, tulevane Benoit Mandelbroti mentor. 1938. aastal avaldati tema artikkel "Lamedad ja ruumilised kõverad ja pinnad, mis koosnevad terviku sarnastest osadest", milles kirjeldatakse veel ühte fraktaali - Levy C-kõverat. Kõiki neid ülalnimetatud fraktaale saab tinglikult omistada ühe konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised või algebralised fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uuringud pärinevad 20. sajandi algusest ja neid seostatakse prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldas Julia peaaegu kakssada lehekülge keerukate ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonidele pühendatud teoseid, milles kirjeldatakse Julia komplekte - tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti komplektiga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühte illustratsiooni, mistõttu oli avatud objektide ilu võimatu hinnata. Hoolimata asjaolust, et see töö ülistati Juliat tolleaegsete matemaatikute seas, unustasid nad selle kiiresti.

Järjekordselt pöörati tähelepanu Julia ja Fatou loomingule alles pool sajandit hiljem, arvutite tulekuga: just nemad tegid fraktaalmaailma rikkuse ja ilu nähtavaks. Lõppude lõpuks ei saanud Fatou kunagi vaadata pilte, mida me nüüd Mandelbroti komplekti piltidena tunneme, sest vajalikku arvu arvutusi ei saa käsitsi teha. Esimesena kasutas selleks arvutit Benoit Mandelbrot.

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat Fractal Geometry of Nature, milles autor kogus ja süstematiseeris kogu tollal kättesaadava fraktaalide kohta käiva teabe ning kirjeldas seda hõlpsasti ja juurdepääsetavalt. Mandelbrot tegi oma ettekandes põhirõhu mitte rasketele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile.

Tänu arvutil loodud illustratsioonidele ja ajaloolistele juttudele, millega autor lahjendas osavalt monograafia teaduslikku komponenti, sai raamat bestselleriks ja fraktaalid üldsusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud asjaolust, et väga lihtsate konstruktsioonide ja valemite abil, millest keskkooliõpilane aru saab, saadakse pilte, mis on hämmastavad keerukuse ja ilu poolest.

Kui personaalarvutid muutusid piisavalt võimsateks, ilmnes isegi terve suundumus kunstis - fraktaalimaal ja peaaegu iga arvuti omanik sai sellega hakkama. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt selle teema jaoks pühendatud saite.

Pärast seda põgusat ajaloo muutmist tutvustagem nüüd fraktaaltüüpide klassifikatsiooni.

Geomeetrilised fraktaalid

Just nendega, nagu te juba aru saite, algas fraktaalide ajalugu. Seda tüüpi fraktaal saadakse lihtsate geomeetriliste konstruktsioonide abil. Esiteks on kujutatud alus. Seejärel asendatakse mõned aluse osad fragmendiga. Igas järgmises etapis asendatakse juba konstrueeritud joonise osad, mis sarnanevad aluse asendatud osadega, jälle sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga. Iga kord, kui skaala väheneb. Kui muutused muutuvad visuaalselt tajumatuks, usuvad nad, et konstrueeritud kuju läheneb hästi fraktaalile ja annab aimu selle kujust. Fraktaali enda saamiseks vajate lõpmatu arvu etappe. Aluse ja fragmendi muutmine - võite saada palju erinevaid geomeetrilisi fraktaale.

Geomeetrilised fraktaalid on head selle poolest, et ühelt poolt on nende kohta tehtud piisavalt tõsiseid teaduslikke uuringuid ja teiselt poolt on neid näha. Isegi matemaatikast kaugel olev inimene leiab neis midagi enda jaoks. Selline kombinatsioon on tänapäevases matemaatikas haruldane, kus kõik objektid on määratletud varjatud sõnade ja sümbolite abil.

Paljusid geomeetrilisi fraktaale saab puuris olevale paberitükile sõna-sõnalt joonistada. On oluline mõista, et kõik saadud pildid on ainult lõpmatute, olemuselt fraktaalide lõplikud lähendid. Kuid võite alati joonistada sellise lähenduse, et silm ei suuda väga väikesi detaile eristada ja meie kujutlusvõime suudab luua tõelise fraktaalse pildi.

Näiteks kui teil on piisavalt suur graafikpaberi leht ja vaba ajavaru, saate käsitsi joonistada Sierpinski vaibale nii täpse lähenduse, et mitme meetri kauguselt tajub palja silmaga see tõelise fraktaalina. Arvuti säästab aega ja paberit, suurendades samas joonistamise täpsust.

Kochi lumehelves

See on üks esimesi fraktaale, mida teadlased on uurinud. Lumehelves on saadud Kochi kõvera kolmest eksemplarist, mis ilmus esmakordselt Rootsi matemaatiku Helge von Kochi artiklis 1904. aastal. See kõver leiutati pideva joone näitena, millele pole võimalik puutujat üheski punktis tõmmata. Selle omadusega read olid juba varem teada, kuid Kochi kõver on tähelepanuväärne selle disaini lihtsuse poolest.

Kochi kõver on pidev, kuid mitte kuskil eristatav. Ligikaudu öeldes leiutati just see - just selliste matemaatiliste "veidruste" näitena.

Kochi kõver on lõpmatu pikkusega. Laske esialgse segmendi pikkus olla 1. Igal ehitusetapil asendame segmentide rea kõik komponendid polüliiniga, mis on 4/3 korda pikem. See tähendab, et igas polülini pikkus korrutatakse igal sammul 4/3 -ga: joonega numbriga n pikkus on (4/3) n-1. Seetõttu ei jää piirjoonest muud üle, kui olla lõpmata pikk.

Kochi lumehelves piirab lõplikku ala. Ja seda hoolimata asjaolust, et selle ümbermõõt on lõputu. See omadus võib tunduda paradoksaalne, kuid on ilmne - lumehelves asetseb täielikult ringis, seetõttu on selle pindala tahtlikult piiratud. Võite pindala arvutada ja te ei vaja selleks isegi eriteadmisi - kolmnurga pindala ja geomeetrilise progressiooni summa valemeid peetakse koolis.

Kochi lumehelves "vastupidi"

Kochi lumehelves "vastupidi" saadakse Kochi kõverate konstrueerimisega algses võrdkülgses kolmnurgas.

Cesaro read

Tasapinnaliste kolmnurkade asemel kasutatakse võrdkülgseid kolmnurki, mille alumine nurk on 60–90 °. Alloleval joonisel on nurk 88 °.

Ruutvariant

Siin valmivad väljakud.

Kochi püramiid

T-ruut

Ehitamine algab ühiku ruudust. Esimene samm: värvige ruut, mille keskel on 1/2 külge, valgeks. Siis peate ruudu vaimselt jagama 4 identseks ja täitma igaühe keskel ruudu 1/4 küljega. Edasi jagatakse igaüks neist 4 ruudust uuesti neljaks osaks, kokku saadakse 16 ruutu ja igaühega neist peate tegema sama. Ja nii edasi.

Fraktaalmõõt on varjutatud valgeks ja võrdub log24 = 2. See on kõikjal algses ruudus tihe. See tähendab, et ükskõik millise väljaku punkti me ka ei võta, on selle suvalises väikeses naabruskonnas varjutatud punktid. See tähendab, et lõpuks muutus peaaegu kõik valgeks - ülejäänud osa pindala on 0 ja fraktaali pindala on 1. Kuid täidetud osa piiri pikkus on lõpmatu.

H fraktaal

Kõik algab tähe H kujul, mille vertikaalne ja horisontaalne segment on võrdsed. Seejärel vähendatakse selle koopia joonise iga nelja otsa külge pooleks. Tähe H koopiat vähendatakse mõlemasse otsa (neid on juba 16), vähendatud juba 4 korda. Ja nii edasi. Limiidis saate fraktaali, mis visuaalselt täidab teatud ruudu. H-fraktaal on selles kõikjal tihe. See tähendab, et väljaku mis tahes punkti naabruses on fraktaalpunktid. Väga sarnane T-ruuduga toimuvale. See pole juhuslik, sest kui tähelepanelikult vaadata, on selge, et iga H-täht asub omas väikeses ruudus, mis valmis samal etapil.

Võime öelda (ja tõestada), et H-fraktaal täidab oma ruudu (inglise keeles space-fill curve). Seetõttu on selle fraktaalne mõõde 2. Kõigi segmentide kogupikkus on lõpmatu.

Elektrooniliste mikrolülituste tootmisel kasutatakse H-fraktaali konstrueerimise põhimõtet: kui on vaja, et keerulises vooluringis võtaks sama signaali korraga vastu suur hulk elemente, siis võivad need paikneda H-fraktaali sobiva iteratsiooni segmentide otstes ja vastavalt ühendada.

Mandelbroti puu

Mandelbroti puu saadakse siis, kui joonistate paksud tähed H, mis koosnevad ristkülikutest ja mitte segmentidest:

Pythagorase puu

Seda nimetatakse seetõttu, et iga paarishaaravalt puudutatava ruudu kolmik piirab täisnurkset kolmnurka ja saame pildi, mida illustreerib sageli Pythagorase teoreem - "Pythagorase püksid on kõigis suundades võrdsed."

On selgelt näha, et kogu puu on piiratud. Kui suurim ruut on ühekordne, siis mahub puu 6 × 4 ristkülikusse, seega ei ületa selle pindala 24. Kuid teisest küljest lisatakse iga kord kaks korda rohkem kolmnurkseid kolmikuid kui eelmist ja nende lineaarsed mõõtmed on √2 korda vähem. Seetõttu lisatakse igal sammul sama pindala, mis on võrdne algse konfiguratsiooni pindalaga, see on 2. Näib, et siis peaks puu pindala olema lõpmatu! Kuid tegelikult pole siin mingit vastuolu, sest üsna kiiresti hakkavad ruudud kattuma ja piirkond ei kasva nii kiiresti. See on endiselt piiratud, kuid ilmselt pole selle täpne tähendus veel teada ja see on lahtine probleem.

Kui muudate nurki kolmnurga allosas, saate puu veidi erineva kuju. Ja 60 ° nurga all on kõik kolm ruutu võrdsed ja puu muutub tasapinnal perioodiliseks mustriks:

Võite ruudud isegi ristkülikutega asendada. Siis on puu rohkem nagu päris puud. Ja mõne kunstilise töötluse abil saadakse üsna realistlikud pildid.

Peano kõver

Esimest korda ilmus selline objekt Itaalia matemaatiku Giuseppe Peano artiklis 1890. aastal. Peano püüdis leida vähemalt mõnevõrra erksat seletust asjaolule, et segment ja ruut on võrdselt võimsad (kui arvestada neid punktide komplektidega), see tähendab, et neil on "sama" punktide arv. Seda teooriat tõestas George Cantor varem tema väljamõeldud teooria raames. Sellised vastuolulised intuitsioonitulemused tekitasid uue teooria suhtes siiski suurt skepsist. Peano näide - pideva kaardistamise ehitamine sirgjoonest ruuduks - oli heaks kinnituseks Cantori õigsusele.

Kummalisel kombel polnud Peano artiklil ainsatki illustratsiooni. Mõnikord ei omistata väljendit "Peano kõver" konkreetsele näitele, vaid igale kõverale, mis täidab osa tasapinnast või ruumist.

Hilberti kõver

Seda kõverat (Hilberti kõver) kirjeldas David Hilbert 1891. aastal. Me näeme ainult lõplikke lähenemisi matemaatilisele objektile, mille all mõeldakse - see osutub piires alles pärast lõpmatu arvu toiminguid.

Fraktaal "Kreeka rist"

Veel üks huvitav näide on Kreeka Risti fraktaal.

Gosperi kõver

Gosperi kõver ehk Gosperi lumehelves on veel üks kõverjoonte variatsioon.

Levy kõver

Ehkki objekti uuris itaallane Ernesto Cesaro 1906. aastal, uuris tema enesesarnasust ja fraktaalseid omadusi 1930. aastatel prantslane Paul Pierre Levy. Selle fraktaali piiri mõõt on umbes 1,9340. Kuid see on üsna keeruline matemaatiline tulemus ja selle täpne väärtus pole teada.

Kuna see sarnaneb kaunilt kirjutatud tähega "C", nimetatakse seda ka Levy C-kõveraks. Vaadates tähelepanelikult, näete, et Levy kõver sarnaneb Pythagorase puu võra kujuga.

Hilberti kuup

Ja seal on ka selliste joonte kolmemõõtmelisi analooge. Näiteks kolmemõõtmeline Hilberti kõver või Hilberti kuup.

Kolmemõõtmelise Hilberti kõvera elegantne metallversioon (kolmas iteratsioon), mille koostas Berkeley California ülikooli arvutiteaduse professor Carlo Secin.

Sierpinski kolmnurk

Seda fraktaali kirjeldas 1915. aastal Poola matemaatik Vaclav Sierpinski. Selle saamiseks peate võtma siseruumidega võrdkülgse kolmnurga, joonistama sellesse keskmised jooned ja viskama välja nelja moodustatud väikese kolmnurga keskkoha. Lisaks tuleb neid samu samme korrata ülejäänud kolme kolmnurgaga jne. Joonisel on näidatud kolm esimest sammu ning välkkiirel demonstratsioonil saate harjutada ja astuda samme kuni kümnendani.

Keskkolmnurkade väljutamine pole ainus viis Sierpinski kolmnurga saamiseks. Võite liikuda "vastupidises suunas": võtke algselt "tühi" kolmnurk, viige seejärel lõpule selles asuvate keskjoonte moodustatud kolmnurk, siis tehke sama kõigis kolmes nurgakolmnurgas jne. Alguses on arvud väga erinevad, kuid iteratsiooninumbri kasvuga sarnanevad nad üha enam üksteisega ja piirides langevad kokku.

Järgmine viis Sierpinski kolmnurga saamiseks on veelgi sarnasem geomeetriliste fraktaalide konstrueerimise tavalise skeemiga, asendades järgmise iteratsiooni osad skaalatud fragmendiga. Siin asendatakse igal sammul katkendlikku joont moodustavad segmendid kolme lüli katkendliku joonega (see saadakse esimeses iteratsioonis). Selle katkise joone edasilükkamiseks on vaja vaheldumisi paremale, seejärel vasakule. On näha, et kaheksas iteratsioon on fraktaalile väga lähedal ja mida kaugemale lähed, seda lähemale joon sellele jõuab.

Vaip (ruut, salvrätik) Sierpinski

Austatud matemaatik ei peatunud kolmnurkade juures ja kirjeldas 1916. aastal ruudukujulist versiooni. Tal õnnestus tõestada, et iga kõver, mida saab joonestada tasapinnal ilma ristmiketa, on homöloomiline mõne selle holleruudu alamhulga suhtes. Nagu kolmnurk, võib ruudu saada erinevatest kujundustest. Paremal on näidatud klassikaline meetod: ruudu jagamine 9 osaks ja keskosa välja viskamine. Siis korratakse sama ülejäänud 8 ruudu jne jaoks.

Nagu kolmnurk, on ka ruudu pindala null.Sierpinski vaiba fraktaalne mõõde on log38, see arvutatakse sarnaselt kolmnurga mõõtmega.

Sierpinski püramiid

Üks Sierpinski kolmnurga kolmemõõtmelisi analooge. See on konstrueeritud samal viisil, võttes arvesse toimuva kolmemõõtmelisust: 5 esialgse püramiidi koopiat, mis on kaks korda kokku surutud, moodustavad esimese iteratsiooni, selle 5 eksemplari moodustavad teise iteratsiooni jne. Fraktaalmõõt on log25. Joonisel on maht null (igas etapis väljutatakse pool ruumalast), kuid pindala säilitatakse iteratsioonist iteratsioonini ja fraktaal on sama, mis algne püramiid.

Mengeri käsn

Sierpinski vaiba üldistamine kolmemõõtmelises ruumis. Käsna ehitamiseks on vaja protseduuri lõputut kordamist: iga iteratsiooni moodustav kuub jaguneb 27 korda kolm korda väiksemateks kuubikuteks, millest visatakse kesk- ja tema 6 naabrit. See tähendab, et iga kuup genereerib 20 uut, kolm korda väiksemat. Seetõttu on fraktaalmõõtmeks log320. See fraktaal on universaalne kõver: iga kolmemõõtmelises ruumis olev kõver on käsna mõne alamhulga jaoks homeomorfne. Käsna käsutuses on null (kuna igal sammul korrutatakse see 20/27-ga), kuid seal on lõpmata suur ala.

Geomeetrilisi fraktaale on endiselt palju ja selle lehe pindala pole kahjuks lõpmatu. Seetõttu liigume edasi järgmise tüüpi fraktaalide juurde - algebraline.

Dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktaale tekib mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide (siit ka nimi) uurimisel. Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada keeruka mittelineaarse funktsiooniga (polünoom) f (z).

Julia komplektid

Võtke komplekstasandil mõni lähtepunkt z0. Nüüd kaalume komplekstasandil lõpmatut numbrijada, millest igaüks saadakse eelmisest: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Sõltuvalt lähtepunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kipub lõpmatuseni olema kui n → ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; võtta tsükliliselt rida fikseeritud väärtusi; võimalikud on keerukamad võimalused.

Seega on komplekstasandi igal punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumisviis ja kogu tasand on jagatud osadeks. Veelgi enam, nende osade piiridel asuvatel punktidel on järgmine omadus: meelevaldselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus järsult (selliseid punkte nimetatakse hargnemiskohtadeks). Niisiis, selgub, et nii teatud tüüpi käitumisega punktide komplektidel kui ka hargnemispunktide komplektidel on sageli fraktaalsed omadused. Need on funktsiooni f (z) Julia komplektid.

Mandelbroti komplekt

See on üles ehitatud natuke teistmoodi. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z2 + c, kus c on kompleksarv. Konstrueerime selle funktsiooni jada väärtusega z0 = 0, sõltuvalt parameetrist c võib see erineda lõpmatuseni või jääda piiritletuks. Lisaks moodustavad kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, täpselt Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti komplektide definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti komplekt kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks on ühendatud Julia komplekt fc (z) (komplekti nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa jagada kaheks eraldiseisvaks osaks koos mõne lisatingimusega).

Halley Fractal

Selliseid fraktaale saadakse juhul, kui funktsiooni juurte ligikaudsete väärtuste otsimiseks dünaamilise fraktaali konstrueerimisel kasutatakse reeglina Halley valemit. Valem on üsna tülikas, nii et kõik, kes soovivad, näevad seda Vikipeedias. Meetodi idee on peaaegu sama, mida kasutati dünaamiliste fraktaalide joonistamiseks: võtame mõne algväärtuse (nagu tavaliselt, räägime muutujate ja funktsioonide keerukatest väärtustest) ja rakendame selle valemi mitu korda, saades numbrite jada. Peaaegu alati läheneb see funktsiooni ühele nullile (see on muutuja väärtus, mille korral funktsioon võtab väärtuse 0). Vaatamata valemi kohmakusele töötab Halley meetod tõhusamalt kui Newtoni meetod: järjestus läheneb nullile kiiremini.

Newtoni fraktaal

Teist tüüpi dünaamilised fraktaalid on Newtoni fraktaalid (nn basseinid). Nende ehituse valemid põhinevad mittelineaarsete võrrandite lahendamise meetodil, mille leiutas suur matemaatik juba 17. sajandil. Kasutades Newtoni meetodi üldvalemit zn + 1 = zn - f (zn) / f '(zn), n = 0, 1, 2, ... võrrandi f (z) = 0 lahendamiseks polünoomiga zk - a, saame punktide jada: zn + 1 = ((k - 1) znk - a) / kznk-1, n = 0, 1, 2, .... Valides esialgsete lähenditena mitmesugused kompleksarvud z0, saame jadad, mis lähenevad selle polünoomi juurtele. Kuna sellel on täpselt k juur, on kogu tasapind jagatud k osadeks - juurte ligitõmbealadeks. Nende osade piiridel on fraktaalne struktuur (sulgudes tuleb tähele panna, et kui asendame viimases valemis k = 2 ja võtame lähiarvestusena z0 = a, saame valemi, mida tegelikult kasutatakse arvutites a ruutjuure arvutamiseks). Meie fraktaal saadakse polünoomist f (z) = z3 - 1.

Fraktaalide kasutamine tööstuses ja igapäevaelus

Teadlased on väga kirglikud isiksused. Ära söö neile leiba, fantaseerige abstraktsetel teemadel. Kuid me oleme praktilised inimesed ja lugenud kõike, mis eespool kirjutatud, on paljudel ilmselt juba mõistlik küsimus: "mis siis?" Mida see teadmine maailmale tõi?

Esiteks, fraktaale kasutatakse arvutisüsteemides ja väga tihedalt. Fraktaalide kõige kasulikum kasutamine arvutiteaduses on fraktaalide pakkimine. Seda tüüpi tihendamine põhineb asjaolul, et tegelikku maailma kirjeldab hästi fraktaalne geomeetria. Samal ajal on pildid tihendatud palju paremini, kui seda tehakse tavapäraste meetoditega (nt JPEG või gif). Veel üks fraktaalse tihendamise eelis on see, et pildi suurendamisel puudub piksliteerimise efekt (suurendades punktide suurust, mis pilti moonutab). Fraktaalse tihenduse korral näeb pilt pärast suurendamist sageli veelgi parem välja kui varem.

Teiseks, see on vedelike mehaanika ja sellest tulenevalt ka naftatööstus. Fakt on see, et voogude turbulentsi uurimine kohandub fraktaalidega väga hästi. Turbulentsed vood on kaootilised ja seetõttu on neid raske täpselt modelleerida. Ja siin aitab üleminek nende fraktaalsele esindusele, mis hõlbustab oluliselt inseneride ja füüsikute tööd, võimaldades neil paremini mõista keerukate voogude dünaamikat. Fraktaalide abil saate simuleerida ka leegi keeli. Poorsed materjalid on fraktaalsel kujul hästi esindatud, kuna nende geomeetria on väga keeruline. Seda kasutatakse naftatööstuses.

Kolmandaks, õhtul tehasest koju tulles, oma lemmikvõitlusdiivanil lamades, lülitate sisse teleri, mis on samuti fraktaalidega seotud. Fakt on see, et fraktaalse kujuga antenne kasutatakse andmete edastamiseks vahemaa tagant, mis vähendab oluliselt nende suurust ja kaalu.

Fraktaalgeomeetria kasutamist antenniseadmete kavandamisel kasutas kõigepealt Ameerika insener Nathan Cohen, kes elas siis Bostoni kesklinnas, kus väliste antennide paigaldamine hoonetele oli keelatud. Cohen lõikas alumiiniumfooliumist välja Kochi kõvera kuju ja kleepis seejärel paberitükile ning kinnitas seejärel vastuvõtjasse. Selgus, et selline antenn töötab mitte halvemini kui tavaliselt. Ehkki sellise antenni füüsilisi põhimõtteid pole veel uuritud, ei takistanud see Cohenil oma ettevõtte asutamist ja nende seeriatootmise korraldamist. Praegu on Ameerika ettevõte Fractal Antenna System välja töötanud uut tüüpi antenni. Nüüd saate keelduda mobiiltelefonides väljaulatuvate välisantennide kasutamisest - nn fraktaaliantenn asub seadme põhiplaadil otse.

Lisaks kasutatakse pindade kõveruse kirjeldamiseks fraktaale. Karedat pinda iseloomustab kahe erineva fraktaali kombinatsioon. Neid kasutatakse ka biosensorite koostoime arendamisel, südamelööke käsitlevatel uuringutel, kaootiliste protsesside modelleerimisel, eriti loomade populatsioonimudelite kirjeldamisel jne.

Fraktaalse turu struktuur

Kogu see ood fraktaalidele oleks asjatu, kui see poleks finantsturgude fraktaalne olemus. Jah, lõpuks jõudsime selle teema aruteluni, mille jaoks ma selle artikli kirjutasin.

Seega on finantsturgude analüüsimiseks praegu palju võimalusi, mille põhjal kauplejad loovad oma kauplemisstrateegiad. Erinevate analüüsi- ja prognoosimisvahendite hulgas on fraktaalanalüüs küljes. See on eraldi mitmekülgne ja huvitav teooria aruteluks ja uurimiseks. Esmamulje räägib teema lihtsusest, kuid kaevake sügavamale ja näete palju varjatud nüansse.

Fraktaalide mõistmine on võti peidetud turuinfo nägemiseks. Kuid just tema on spekulandi turuedu üks peamisi tegureid ja suure stabiilse kasumi võtmetegur.

14. oktoobril 2010 suri Benoit Mandelbrot - mees, kes muutis mitmeti meie arusaamist ümbritsevatest objektidest ja rikastas meie keelt sõnaga „fraktaal“.

Nagu te juba teate, teame tänu Mandelbrotile, et fraktaalid ümbritsevad meid kõikjal. Mõned neist muutuvad pidevalt, nagu liikuvad pilved või leegid, teised, nagu rannajooned, puud või meie veresoontesüsteemid, säilitavad evolutsiooni käigus omandatud struktuuri. Veelgi enam, fraktaalide vaatlusvahemiku tegelik vahemik ulatub polümeerides olevate molekulide vahelisest kaugusest universumis asuvate galaktikate klastrite vahelise kauguseni. Selliste objektide rikkaim kollektsioon on kogutud Mandelbroti kuulsas raamatus "Looduse fraktaalne geomeetria".

Looduslike fraktaalide kõige olulisem klass on kaootilised aegread või ajaliselt järjestatud vaatlused erinevate looduslike, sotsiaalsete ja tehnoloogiliste protsesside omaduste kohta. Nende hulgas on nii traditsioonilisi (geofüüsikalisi, majanduslikke, meditsiinilisi) kui ka suhteliselt hiljuti teada saanud (kuritegevuse taseme või liiklusõnnetuste igapäevased kõikumised piirkonnas, teatud saitide Internetis leitavuse muutused jne). Neid seeriaid genereerivad tavaliselt keerulised mittelineaarsed süsteemid, millel on väga erinev olemus. Kuid kõigi jaoks korratakse käitumismustrit erineval skaalal. Nende populaarseimad esindajad on rahalised aegread (peamiselt aktsiahinnad ja vahetuskursid).

Selliste sarjade ise sarnane ülesehitus on olnud teada juba väga pikka aega. Mandelbrot kirjutas ühes oma artiklis, et tema huvi aktsiaturu noteeringute vastu sai alguse ühe börsi avaldusest: "... Enamiku finantsinstrumentide hinnaliikumised on väljastpoolt sarnased erineval aja- ja hinnaskaalal. Vaatleja ei saa diagrammi välimuse järgi öelda, andmed viitavad nädala, päeva või tunni muutused. "

Finantsteaduses väga erilisel kohal hõivatud Mandelbrotil oli au "vundamentide alistajaks", põhjustades majandusteadlaste seas selgelt mitmetähenduslikku suhtumist endasse. Alates üldise tasakaalu kontseptsioonil põhineva tänapäevase finantsteooria tulekust oli ta üks selle peamisi kriitikuid ja püüdis leida oma elu lõpuni sellele vastuvõetavat alternatiivi. Kuid just Mandelbrot töötas välja kontseptsioonide süsteemi, mis koos sobivate modifikatsioonidega, nagu selgus, võimaldab mitte ainult koostada tõhusat prognoosi, vaid pakub ilmselt ka praegu klassikalise rahandusteooria ainsa empiirilise põhjenduse.

Fraktaalstruktuuride peamine omadus on fraktaalmõõt D, mille võttis kasutusele Felix Hausdorff 1919. aastal. Aegridade jaoks kasutatakse sageli Hersti indeksit H, mida seostatakse fraktaalse mõõtmega suhtega D = 2 - H ja mis on aegridade püsivuse (võime säilitada teatavat tendentsi) näitaja.

Tavaliselt võib turul eksisteerida kolm põhimõtteliselt erinevat režiimi: kui H = 0,5, kirjeldatakse hinnakäitumist juhusliku jalutuskäigu mudeli abil; kui H> 0,5, on hinnad trendis (suunaline liikumine üles või alla); H <0,5 korral on hinnad tasased või esinevad sagedased kõikumised üsna kitsas hinnaklassis. H (nagu ka D) usaldusväärne arvutamine nõuab aga liiga palju andmeid, mis välistab võimaluse kasutada neid omadusi indikaatoritena, mis määravad aegridade kohaliku dünaamika.

Nagu teate, on rahaliste aegridade põhimudel juhusliku käimise mudel, mille kõigepealt hankis Luis Bachelier, et kirjeldada aktsiahindade vaatlemist Pariisi börsil. Selle mudeli ümbermõtestamise tulemusel, mida mõnikord hinnakujunduses täheldatakse, tekkis efektiivse turu kontseptsioon, kus hind kajastab täielikult kogu olemasolevat teavet.

Sellise turu olemasolu jaoks piisab, kui eeldada, et sellel on suur arv täielikult informeeritud ratsionaalseid esindajaid, kes reageerivad saabuvale teabele koheselt ja kohandavad hindu, viies nad tasakaalu. Sellise lähenemisviisi raames saadi kõik klassikalise rahandusteooria peamised tulemused (portfelli teooria, CAPM mudel, Black-Scholes mudel jt). Praegu mängib tõhusa turu kontseptsioon endiselt domineerivat rolli nii finantsteoorias kui ka finantsäris.

Sellegipoolest näitasid empiirilised uuringud eelmise sajandi 60-ndate aastate alguseks, et tugevad muutused turuhindades toimuvad palju sagedamini kui efektiivse turu algmudel (juhusliku käimise mudel) ennustas. Mandelbrot oli üks esimesi, kes allutas tõhusa turu kontseptsiooni põhjaliku kriitika alla.

Tõepoolest, kui mis tahes varude H-indikaatori väärtuse arvutamine on õige, erineb see tõenäoliselt H = 0,5-st, mis vastab juhusliku kõndimise mudelile. Mandelbrot leidis selle mudeli kõik võimalikud üldistused, mis võivad olla seotud tegeliku hinnakäitumisega. Nagu selgus, on need ühelt poolt protsessid, mida ta nimetas Levy lennuks, ja teiselt poolt protsessid, mida ta nimetas üldistatud Brownide liikumiseks.

Hinnakäitumise kirjeldamiseks kasutatakse tavaliselt fraktaalse turu mõistet, mida tavaliselt peetakse efektiivse turu alternatiiviks. Mõiste eeldab, et turul on lai valik esindajaid, kellel on erinev investeerimishorisont ja seetõttu ka erinevad eelistused. Need silmaringid varieeruvad päevasisestest kauplejatest mõnest minutist suurte pankade ja investeerimisfondide jaoks mitme aastani.

Stabiilne seisund sellisel turul on režiim, kus "keskmine kasumlikkus ei sõltu ulatusest, välja arvatud korrutamine vastava skaalateguriga". Tegelikult räägime tervest režiimiklassist, millest igaüks määratakse indikaatori H. väärtuse järgi. Lisaks osutub väärtus H = 0,5 üheks paljudest võimalikest ja seetõttu võrdseks mis tahes muu väärtusega. Need ja muud lähedased kaalutlused tekitasid tõsiseid kahtlusi tõelise tasakaalu olemasolu osas aktsiaturul.

Vaata allpool olevaid hinnatabelit:

On näha, et hind põhjustab püsivaid kõikumisi, moodustades seega korduvat laadi struktuuri.See on nähtav kõigil turgudel, olenemata ajakavast.

Pildil on diagrammid: BRN M30, BTCUSD H1, DAX30 D1, EURSGD M5, USDCHF H1, XAUUSD M15. Ilma allkirjade ja selgitusteta vaevalt suudab keegi neid üksteisest eristada.

Need graafikud ei ole täpselt sarnased, kuid neil on mõned ühised mustrid. Teatud aja jooksul liigub hind ühes suunas, siis muudab selle suuna vastassuunale ja taastab osaliselt eelmise liikumise, siis pöördub uuesti. Pole tähtis, millist ajaraami graafikute jaoks kasutatakse - need kõik näevad välja umbes ühesugused (püsivad kõikumised), täpselt nagu fraktaalid.

Kõikumised moodustavad turu laineid. Mis on laine? See on impulss ja selle parandamine (liikumine-ümberpööramine-liikumine vastassuunas, taastades osaliselt eelmise). Sellised liikumised moodustavad laineid.

Pilt näitab neid liikumisi, mis moodustavad laineid. Mitmed neist lainetest moodustavad sarnase kujuga suure laine (impulsi korrektsioon). Mitu väikest lainet moodustavad ühe keskmise suurusega laine.

Keskmise suurusega lained moodustavad ühe suure laine. See on fraktaalteooria olemus finantsturgudel.

Selliste lainete seeria moodustab turul suunatud suundumused. Sellised suundumused moodustavad omakorda vanemast ajalisest järjekorrast koosnevad liikumised. Nagu lainete puhul, moodustavad väikesed liigutused ühe keskmise jne. See eristab lühiajalisi, keskmise pikkusega ja pikaajalisi suundumusi. See on klassikaline arusaam turu fraktaalsest olemusest.

Fraktaalid Bill Williams

Nagu ma ütlesin, on turu fraktaalid üks näitajaid Bill Williamsi kauplemissüsteemis. Arvatakse, et just tema tutvustas seda nime esmakordselt kauplemisele, kuid nagu teate, pole see nii. Fraktaalidel kauplemisel ja koos selle alligaatori indikaatoriga leidis autor kohalikke turu kõige kõrgemaid või madalamaid kohti. Samuti kirjutas ta, et turu fraktaalse struktuuri määramine võimaldab teil leida viisi hindade käitumise mõistmiseks.

Üldiselt tekitas Williamsi fraktaalide teooria korraga tuliseid vaidlusi peamiselt seetõttu, et autor, nagu paljud usuvad, lisas oma teooriasse palju teaduslikku terminoloogiat (fraktaal, atraktor ja nii edasi) ja tegi seda mitte päris õigesti.

Üldiselt ilmuvad Williamsi fraktaalid turul üsna sageli ja peaaegu kõigil ajakavadel ning on tegelikult lihtsad kohalikud ekstreemsused 5 baari segmendis ega vasta praktiliselt fraktaalide matemaatilisele teooriale. Thomas Demarki teise astme TD-punktid on graafikul täpselt samasugused. Vaatamata kõigile neile kokkusattumustele - see teooria on aga tänapäeval väga populaarne.

Williamsi tehnilises analüüsis uuritakse 4 olemasolevat fraktaalset koosseisu:

  • tõeline fraktaal osta;
  • fraktaali ostmiseks;
  • tõeline fraktaal müüa;
  • võlts fraktaal müügil.

Järgnevalt räägime õigetest ja valedest fraktaalidest ning nende eristamisest.

Fraktaalide indikaator kauplemisterminalis MetaTrader

Bill Williamsi indikaatorid ei vaja paigaldamist ja on lisatud tavapärasesse indikaatorite komplekti, mis on kauplejale saadaval karbist väljas. Fraktaalindikaatori MetaTrader 4 terminalis diagrammi külge kinnitamiseks peate: peamenüüs (või aknas "Navigator") valima menüüpunkti "Lisa" - "Indikaatorid" - "Bill Williams" - "Fraktaalid":

MT4 standardsel indikaatoril pole muid sätteid peale värvi. Selle kasutamine fikseeritud perioodiga "5" kaob kõik selle tööriista võimalused ja eelised. Kuid MetaTraderi platvormi jaoks on palju kohandatud indikaatoreid, mis aitavad seda probleemi lahendada.

Fraktaalide vale ja tõe probleem

Fraktaalidega kauplemise ajal on üks oluline nüanss - suure hulga signaalide ilmumine diagrammile, millest mõned on valed. Nende filtreerimiseks töötas Bill Williams välja veel ühe näitaja nimega "Alligator", mille võib leida ka MT4 standardsest indikaatorikomplektist.

Valede fraktaalide probleem on peamine vigade allikas, sarnaselt hinnangutele toetuse / vastupanu jaotuse tõesuse kohta. Sõltumata konkreetsest metoodikast, on usaldusväärsuse määramise üldpõhimõte järgmine: kõik kõrvalekalded klassikalisest ilmest peaksid olema kaheldavad. Nagu kogu tehnilise analüüsi puhul, põhjustab ajakava vähenemine valesignaalide suurenemist ja segadust diagrammi. Ebastabiilsete fraktaalide näited on toodud alloleval joonisel.

Suurte mustrite harjutamisel on parem avada positsioonid viimase hinnaimpulsi korrigeerimise hetkedel, mis asuvad formatsiooni vasakul küljel. Mustris töötavad standardsed Fibonacci korrektsioonid usaldusväärselt: 38% (0,382), 50% (0,500) ja 62% (0,618). Kui "venitate" naabruses asuvate indikaatorisignaalide kaudu, saate avada piirtellimuste kaudu võtmetasemete lähedal.

Samal viisil saate kaitsta tehingut ettearvamatu vastupidise lagunemise eest, liigutades stoplossit järk-järgult, et juhtida viimase ja eelviimase küünla vastupidist maksimaalset või minimaalset väärtust. Kui struktuur alles moodustub, peaks peatus olema vähemalt 5-10 punkti eespool või allpool viimast signaali, mille Fractali indikaator andis. Siis jääme väiksemate tagasilöökide korral turule ja kui trend on täielikult muutunud, siis tehing suletakse minimaalse kahjumiga.

On veel üks viis, kuidas teha kindlaks, kas meil on valed fraktaalid - kui need on läbistatud pika varju ja väikese kehaga (tihvtiribaga). Mida pikem on tema nina, seda tugevam on pöördussignaal, mis tähendab, et turg ei suutnud esimest korda viimase mustri taset muuta. Kui jaotus on toimunud ja järgmine küünal on nina kohal kõrgel (müügiks) või madalamal (ostmiseks) suletud, siis võite suure tõenäosusega signaali vahele jätta ja järgmist oodata. Sarnane olukord võib juhtuda 3-5 baari korral, kuid me pöörame tähelepanu ainult ribale, mis on murdnud fraktaalide indikaatori.

Fraktaalide praktiline kasutamine

Bill Williams soovitas fraktaale kasutada strateegiates, mis põhinevad oluliste hinnatasemete jaotusel. Hinna liikumine vähemalt ühe punkti võrra eelmise fraktaali tasemest kõrgemal või madalamal räägib selle näitaja autori sõnul juba selle taseme murdmisest hinna järgi.

Eelmise fraktaali taseme läbimurdmist nimetatakse ostjate läbimurdeks juhuks, kui hind tõuseb ülespoole suunatud fraktaali kohal kõrgemale. Vastupidisel juhul, kui hind langeb allapoole suunatud fraktaali allapoole, räägivad nad müüjate läbimurdest. Bill Williams soovitas käsitada ostjate või müüjate läbimurret positsiooni avamise signaalina.

Tavaliselt esitavad kauplejad lõpetamata Stop-tellimustele mitu punkti fraktaalist kõrgemal või all, et positsioon avada, kui see tase läbi murda. Sellistel juhtudel seatakse stoppkaotus tavaliselt eelviimasel vastasküljel asuva fraktaali tasemele.

Klassikalises tõlgenduses soovitab Bill Williams fraktsiaalide tekitatud kauplemissignaalide filtreerimist Alligaatori indikaatori abil. Niisiis, ostupositsiooni avamiseks on vajalik, et punase joone kohal (nn "Alligaatori hambad") asuks fraktaal. Strateegia autor soovitas siseneda turule kohe pärast fraktaali purustamist või ootel oleva BuyStopi tellimuse kasutamist. Müügiturule sisenemine toimub fraktaali purustamisel punasest joonest madalamal.

Selle strateegia kohta saate lugeda rohkem artiklist Bill Williamsi süsteemi kasumlikkuse kohta. Ja me analüüsime peamisi praktilisi viise fraktaalide kasutamiseks sellest sõidukist eraldatult.

Fractal Breakout Trading

See meetod on klassikaline, välja pakkunud Bill Williams. Nagu nimest järeldada võib, on kaubandus lagunemisjärgne ja mõeldud praeguse suundumuse jätkamiseks. Tehingusse sisenemine toimub ootel peatumiskorralduse alusel hinna järgi lähima fraktaali jagunemiseks. Näide, mida näete ülaltoodud pildil.

Autori enda sõnul annab see kauplemismetoodika palju valesid sisendeid, nii et Bill soovitab filtrida signaale Alligaatori indikaatori abil. Põhimõtteliselt saab Alligaatori indikaatori asendada tavaliste liikuvate keskmistega ja seda saab kasutada ka filtrina. Kuid ma kordan, et fraktaale ja Alligaatorit pole mõtet pidada teistest Williamsi tööriistadest eraldi, nii et me ei vaeva selle üle ja liigume edasi.

Fraktaalid kui toetus- / takistustasemed

Kui olete vähemalt korra kohanud tuge / vastupanu taset, siis teate, kui keeruline on neid üles ehitada, eriti kui olete algaja. Ja kogu see keerukus tuleneb selle tööriista subjektiivsusest. Tasemeid ehitades ei saa me kindlalt öelda, kas ehitasime need õigesti või mitte. Bill Williams koos oma fraktaalidega annab meile suurepärase tööriista tähendusliku toetuse ja vastupanu leidmiseks ja ülesehitamiseks.

Paneme indikaatori mõnele diagrammile ja analüüsime seda tasemetes.

See on USDCHF D1 graafik koos klassikalise fraktaaliga. Jah, ajakava on nende nooltega lihtsalt täidetud. Kui horisontaaljoon tõmmatakse läbi iga indikaatori esiletõstetud jäseme, siis diagrammi ise nende joonte taga näha pole.

Suurendame perioodide arvu ja vaatame tulemust:

Nagu näete, on graafik muutunud paremaks ja alles on jäänud tõesti märkimisväärsed äärmused, mille kaudu saab tõmmata kauplemiseks üsna sobivad tasemed. Pöörake tähelepanu sellele, kuidas hind "austab" ja täidab neid tasemeid. Olen kindel, et tulevikus, kui hind neile läheneb, näeme neile jälle reaktsiooni.

Fraktaalid ja trendijooned

Teine üsna hea meetod fraktaalide indikaatori rakendamiseks on määratleda võrdluspunktid trendijoonte joonistamiseks:

Viskasin indikaatori diagrammile, suurendades seadetes ribade arvu. Siis joonistas ta mõne fraktaali kaudu mitu trendijoont. Liinid osutusid tõepoolest üsna huvitavateks ja hind suhtleb nendega. Loomulikult peaksid kauplejal olema põhiteadmised tehnilise analüüsi ja trendisuundade kujundamise alal. Kuid olen kindel, et see näitaja on praktikas heaks abiks algajale valuutaspekulaatorile.

Trendi määramine indikaatori abil

Fraktaalide abil saame kindlaks teha ka turul domineeriva suundumuse. Seda on väga lihtne teha. Kui tuletame meelde suundumuse definitsiooni, mis väidab, et tõusutrend on kasvavate kohalike tõusude ja madalseisude jada ning langustrend on kahanev äärmus. Viskame meie indikaatori graafikule ja näeme, et tõusutendentsi korral värskendavad fraktaalide ostmist fraktaalid sagedamini kui fraktaale müüvad.

Lameda liikumise määratlus

Kui hind ei suutnud eelmisest fraktaalist üle saada, võib see olla signaal tasase liikumise alustamiseks. Signaali kinnitamiseks on vaja oodata vastupidise fraktaali moodustumist.

Kui ta ei suutnud ka eelmisest fraktaalist läbi murda, peaksime ootama ülemise ja alumise fraktaali vahemikku jäävat korterit, mis lõpeb pärast seda, kui üks neist tasemetest läbi tungib.

Järeldus

Fraktaali indikaator ja selle modifikatsioonid põhinevad diagrammil palju potentsiaalseid sisenemispunkte igale maitsele, enamik neist tundub üsna usaldusväärne. Tegelikult pole see analüüsimeetod nii lihtne ja üheselt mõistetav. Algajatele ei soovitata seda otsuse tegemise ainsa tegurina kasutada.

Fraktaale ei saa hindade ennustamiseks kasutada. Isegi Williams pidas neid vähemalt vähemalt kolmandaks kinnitavaks teguriks. Pange tähele, et standardsel fraktaali indikaatoril, mis on osa kauplemisplatvormide põhikomplektist, puuduvad parameetrid, nii et vali modifikatsioonid, kui arveldusribade arv muutub. Nii et saate täpsemini häälestada konkreetset vara.

Kasutamine annab positiivse tulemuse ainult kombinatsioonis teiste näitajatega tunni või enama intervalliga. Fraktalide indikaatorit sisaldavad strateegiad peavad kindlasti analüüsima mitut ajakava. Ärge visake seda indikaatorit ära.

Jäta Oma Kommentaar